a + b = b + a
Переместительный закон
Экспозиция · 7–9 класс
Музей алгебры и геометрии
В музее два зала. В первом — формулы, уравнения и графики. Во втором — фигуры: что это такое, как их считают и где они встречаются в жизни. Идите по порядку или выберите зал.
Зал I · Алгебра
Алгебра — язык, на котором говорит x
От аль-Хорезми до формул, которые сейчас пролетают мимо вас. Разбираем главное: выражения, уравнения, функции, степени и прогрессии.
Откуда слово
«Аль-джабр» — восстановление
Около 820 года багдадский учёный Мухаммад аль-Хорезми написал «Краткую книгу об исчислении аль-джабра и аль-мукабалы». Аль-джабр — перенос вычитаемого в другую часть уравнения, аль-мукабала — сокращение одинаковых членов.
x² + 10x = 39 ⇒ x = 3
Это задача из самой книги. Аль-Хорезми решал её геометрически, «достраивая квадрат». От его имени произошло слово алгоритм.
Основа
Переменные и выражения
Буква заменяет любое число. Так одно правило описывает бесконечно много случаев сразу.
(ab)c = a(bc)
Сочетательный закон
a(b + c) = ab + ac
Распределительный закон: раскрываем скобки
3x + 5x − 2 = 8x − 2
Приведение подобных слагаемых
Выучить наизусть
Формулы сокращённого умножения
(a + b)² = a² + 2ab + b²
Квадрат суммы
(a − b)² = a² − 2ab + b²
Квадрат разности
a² − b² = (a − b)(a + b)
Разность квадратов
a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)
Сумма кубов
a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)
Разность кубов
99² = (100 − 1)² = 9801
Пример: считаем в уме
Уравнения · шаг 1
Линейное уравнение
ax + b = 0 ⇒ x = −b ⁄ a, a ≠ 0
Главное правило: с обеими частями уравнения можно делать одно и то же действие, и равенство сохранится.
- 3x + 5 = 20 исходное уравнение
- 3x = 15 вычли 5 из обеих частей
- x = 5 разделили на 3 · проверка: 3·5 + 5 = 20
Уравнения · шаг 2
Квадратное уравнение
ax² + bx + c = 0
D = b² − 4ac
Дискриминант: D > 0 — два корня, D = 0 — один, D < 0 — действительных корней нет
x = (−b ± √D) ⁄ 2a
Формула корней
x₁ + x₂ = −b⁄a, x₁·x₂ = c⁄a
Теорема Виета
x² − 5x + 6 = 0
D = 25 − 24 = 1, корни x₁ = 2, x₂ = 3
Функции
Формула превращается в картинку
Функция ставит каждому x в соответствие одно значение y. График показывает это сразу для всех x.
y = kx + b
Прямая. k — наклон, b — точка пересечения с осью y
y = x² − 4
Парабола. Ветви вверх, вершина (0; −4), нули при x = ±2
Попробуй сам
Двигай коэффициенты, и парабола ответит
y = x² − 2x − 3
ДискриминантD = 16
Корниx₁ = −1, x₂ = 3
Вершина(1; −4)
Степени и корни
Правила для показателей
aᵐ · aⁿ = am+n
При умножении показатели складываются
aᵐ : aⁿ = am−n
При делении вычитаются
(aᵐ)ⁿ = amn
Степень степени
a⁰ = 1, a⁻ⁿ = 1 ⁄ aⁿ
Нулевой и отрицательный показатель, a ≠ 0
√(ab) = √a · √b
Корень из произведения, a, b ≥ 0
2¹⁰ = 1024
Поэтому в килобайте 1024 байта
Показательная функция
Экспонента: рост, который взрывается
y = 2ˣ
Число Эйлераe = lim (1 + 1⁄n)ⁿ ≈ 2,71828
Поведениеa > 1 — растёт
Значение при x = 102¹⁰ = 1024
Бактерия делится каждые 20 минут. Через сутки (72 деления) их будет 2⁷² ≈ 4,7·10²¹. Пунктиром на графике — y = eˣ.
Последовательности
Прогрессии
aₙ = a₁ + (n − 1)d
Арифметическая: каждый раз прибавляем d
Sₙ = (a₁ + aₙ)·n ⁄ 2
Сумма n членов арифметической прогрессии
bₙ = b₁ · qⁿ⁻¹
Геометрическая: каждый раз умножаем на q
1 + 2 + … + 100 = 5050
Так сложил числа маленький Гаусс: 50 пар по 101
Зал II · Геометрия
Геометрия — наука о формах
Каждая фигура в этом зале — экспонат. Для каждой узнаем, что это за фигура, по каким формулам её считают и где она встречается в жизни: от пирамид Египта до вирусов и термоядерных реакторов.
Экспонат № 1 · многогранник
Куб
Многогранник из 6 одинаковых квадратов. В каждой вершине сходятся 3 ребра под прямым углом. У куба 8 вершин и 12 рёбер.
V = a³S = 6a²диагональ d = a√3
Где используется
- Игры: игральная кость, кубик Рубика, блоки в Minecraft
- Стройка и склад: кирпичи, коробки, морские контейнеры
- Числа: «a в кубе» — это объём куба с ребром a
Как используется. Кубы заполняют пространство без щелей, поэтому коробки удобно ставить друг на друга. Вместимость тары считают по формуле V = a³: в кубе с ребром 1 м помещается 1000 литров.
Экспонат № 2 · многогранник
Тетраэдр
Треугольная пирамида: 4 грани-треугольника, 4 вершины, 6 рёбер. Самый простой многогранник: меньше граней не бывает.
V = a³√2 ⁄ 12S = a²√3В − Р + Г = 4 − 6 + 4 = 2
Где используется
- Химия: молекула метана CH₄ и кристалл алмаза, атомы сидят в вершинах тетраэдра
- Упаковка: первые пакеты для молока «Тетра Пак»
- Мосты и вышки: фермы из треугольников
Как используется. Треугольник нельзя перекосить, не сломав сторону. Поэтому каркас из тетраэдров — самый жёсткий, и из него собирают опоры, краны и мосты.
Экспонат № 3 · многогранник
Пирамида
Четырёхугольная пирамида: квадрат в основании и 4 треугольные грани, сходящиеся в одной вершине.
V = ⅓ · a² · hS = a² + 2a·ll — апофема, высота боковой грани
Где используется
- Египет: пирамида Хеопса, высота ≈ 146 м, сторона основания ≈ 230 м
- Архитектура: стеклянная пирамида Лувра, крыши-шатры
- Кухня: пакетики чая-«пирамидки»
Как используется. Почти весь вес лежит на широком основании, поэтому пирамида устойчива тысячи лет. По формуле объёма камня в пирамиде Хеопса около ⅓ · 230² · 146 ≈ 2,6 млн м³.
Экспонат № 4 · многогранник
Октаэдр
8 треугольных граней, 6 вершин, 12 рёбер. Выглядит как две пирамиды, склеенные квадратными основаниями.
V = a³√2 ⁄ 3S = 2a²√36 − 12 + 8 = 2
Где используется
- Минералы: кристаллы алмаза, флюорита, магнетита
- Настольные игры: восьмигранная кость d8
- Химия: многие молекулы, например SF₆, имеют форму октаэдра
Как используется. По форме кристалла геологи узнают минерал: алмаз и флюорит часто растут именно октаэдрами.
Экспонат № 5 · многогранник
Додекаэдр
12 правильных пятиугольников, 20 вершин, 30 рёбер. Одно из пяти «тел Платона»: Платон считал его формой всей Вселенной.
V = (15 + 7√5) ⁄ 4 · a³20 − 30 + 12 = 2
Где используется
- Календари: 12 граней — 12 месяцев на каждой
- Настольные игры: кость d12
- История: римские бронзовые додекаэдры, их назначение до сих пор загадка
Как используется. Все 12 граней одинаковы, поэтому кость d12 выпадает на каждую грань с равной вероятностью 1⁄12.
Экспонат № 6 · многогранник
Икосаэдр
20 треугольников, 12 вершин, 30 рёбер. Из всех правильных многогранников он ближе всех к шару.
V = 5(3 + √5) ⁄ 12 · a³12 − 30 + 20 = 2
Где используется
- Биология: оболочки многих вирусов имеют форму икосаэдра
- Спорт: футбольный мяч — усечённый икосаэдр, 12 пятиугольников и 20 шестиугольников
- Архитектура: геодезические купола
Как используется. Если «надуть» икосаэдр и дробить его треугольники, получится почти шар. Так строят купола из одинаковых балок и рисуют сферы в 3D-играх.
Экспонат № 7 · тело вращения
Шар
Все точки его поверхности на одном расстоянии r от центра. Получается, если вращать круг вокруг диаметра.
V = ⁴⁄₃ πr³S = 4πr²
Где используется
- Природа: планеты, капли воды, мыльные пузыри
- Техника: шарики в подшипниках, газовые баки
- Спорт: мячи
Как используется. При одном и том же объёме у шара самая маленькая поверхность. Поэтому капли и пузыри круглые, а на шаровой бак уходит меньше всего металла.
Экспонат № 8 · тело вращения
Цилиндр
Два одинаковых круга, соединённые боковой поверхностью. Получается, если вращать прямоугольник вокруг стороны.
V = πr²hS = 2πr(r + h)
Где используется
- Дом и магазин: банки, стаканы, батарейки
- Город: трубы, цистерны, колонны
- Машины: цилиндры двигателя
Как используется. Объём двигателя в литрах — это сумма объёмов его цилиндров по формуле πr²h. Круглые трубы держат давление равномерно, без слабых углов.
Экспонат № 9 · тело вращения
Конус
Круг в основании и одна вершина. Получается, если вращать прямоугольный треугольник вокруг катета.
V = ⅓ πr²hS = πr(r + l)ровно ⅓ цилиндра
Где используется
- Улица: дорожные конусы
- Кухня: вафельный рожок, воронка
- Природа: вулканы, ёлки
Как используется. Если разрезать конус плоскостью, получатся окружность, эллипс, парабола или гипербола. По параболе летит брошенный мяч, а по эллипсу Земля движется вокруг Солнца.
Экспонат № 10 · поверхность вращения
Тор
Форма бублика: окружность радиуса r вращается вокруг оси на расстоянии R. У тора есть «дырка», и это меняет его свойства.
V = 2π²Rr²S = 4π²RrВ − Р + Г = 0
Где используется
- Быт: бублик, спасательный круг, кольцо
- Транспорт: шины колёс
- Наука: токамак — термоядерный реактор
Как используется. В токамаке горячую плазму держат магнитным полем в форме тора, чтобы она летала по кругу и не касалась стенок.
Экспонат № 11 · кривая в пространстве
Узел-трилистник
Самый простой настоящий узел: его нельзя развязать, не разрезав. Кривая обходит тор 2 раза вдоль и 3 раза сквозь отверстие.
x = (2 + cos 3t) cos 2ty = (2 + cos 3t) sin 2tz = sin 3t
Где используется
- Математика: теория узлов, раздел топологии
- Биология: длинные молекулы ДНК завязываются в узлы
- Искусство: кельтские орнаменты, морские узлы
Как используется. Клетка распутывает узлы ДНК особыми ферментами. Учёные сравнивают узлы до и после и понимают, как работают эти ферменты и лекарства, которые их останавливают.
Треугольник
Теорема Пифагора: a² + b² = c²
В прямоугольном треугольнике квадрат, построенный на гипотенузе, по площади равен двум квадратам на катетах вместе. Двигайте катеты и смотрите, как меняются квадраты.
Проверка9 + 16 = 25
Гипотенузаc = 5
ПлощадьS = ½ab = 6
Ещё запомните: сумма углов любого треугольника равна 180°. Тройка 3, 4, 5 была известна египетским строителям: верёвкой с 12 узлами они размечали прямые углы.
Окружность и круг
Число π живёт в каждом круге
Если длину любой окружности разделить на её диаметр, всегда получится одно и то же число: π ≈ 3,14159… Архимед доказал, что оно лежит между 3¹⁰⁄₇₁ и 3¹⁄₇, вписывая в круг 96-угольник.
Длина окружностиC = 2πr ≈ 31,42
Площадь кругаS = πr² ≈ 78,54
Уравнениеx² + y² = 25
Многоугольники
Сколько градусов в n-угольнике?
Любой выпуклый n-угольник можно разрезать диагоналями из одной вершины на n − 2 треугольника. В каждом 180°, поэтому сумма всех углов равна (n − 2)·180°.
Сумма углов(6 − 2)·180° = 720°
Один угол правильного120°
Диагоналей n(n − 3)⁄29
Пчёлы строят соты из шестиугольников: при той же площади у них меньше всего стенок среди фигур, которыми можно замостить плоскость.
Объёмные фигуры
Пять идеальных тел Платона и тор
Все грани одинаковые правильные многоугольники, и в каждой вершине сходится одинаковое число граней. Таких тел всего пять, больше не бывает. Выберите фигуру и покрутите её мышью или пальцем.
Вершины В · рёбра Р · грани Г8 · 12 · 6
Формула Эйлера8 − 12 + 6 = 2
Алгебра + геометрия
Сложные фигуры тоже считаются формулами
Каркасы, которые летают вокруг, — это многогранники, тор и торический узел. У каждой фигуры есть своя формула.
V = ⁴⁄₃ πr³, S = 4πr²
Шар: объём и площадь поверхности
V = ⅓ πr²h
Конус: ровно треть цилиндра с тем же основанием и высотой
V = ⅓ Sосн · h
Любая пирамида
V = 2π²Rr², S = 4π²Rr
Тор («бублик»): R — радиус до центра трубки, r — радиус трубки
В − Р + Г = 2
Формула Эйлера. Икосаэдр: 12 − 30 + 20 = 2, додекаэдр: 20 − 30 + 12 = 2
V = (15 + 7√5)⁄4 · a³
Додекаэдр с ребром a: 12 правильных пятиугольников
Проверь себя
Викторина: вопрос 1 из 5
(x + 3)² = ?
Выберите ответ.
Выход из музея
Алгебра считает, геометрия показывает
- Деньги: рост вклада по формуле S = P(1 + r)ⁿ — это экспонента
- Навигация: телефон находит себя по расстояниям до спутников: d² = x² + y² + z²
- Игры и 3D: фигуры — сетки треугольников, а движение — уравнения